ბევრ სტუდენტს, რომელიც უფროსკლასელობაში სწავლობს უმაღლეს მათემატიკას, ალბათ გაინტერესებთ: სად გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებები (DE) პრაქტიკაში? როგორც წესი, ლექციაზე ეს საკითხი არ განიხილება და მასწავლებლები დაუყოვნებლივ გადადიან DE– ს ამოხსნაზე, ისე რომ არ აუხსნან სტუდენტებს დიფერენციალური განტოლებების გამოყენება რეალურ ცხოვრებაში. ჩვენ შევეცდებით შეავსოთ ეს ხარვეზი.
დავიწყოთ დიფერენციალური განტოლების განსაზღვრით. დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც აკავშირებს ფუნქციის წარმოებული მნიშვნელობას თავად ფუნქციასთან, დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებთან და ზოგიერთ ციფრთან (პარამეტრთან).
ყველაზე გავრცელებული არე, რომელშიც დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება, არის ბუნებრივი მოვლენების მათემატიკური აღწერა. ისინი ასევე გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად, როდესაც შეუძლებელია პროცესის აღწერილ ზოგიერთ ღირებულებას შორის პირდაპირი კავშირის დამყარება. ასეთი პრობლემები ჩნდება ბიოლოგიაში, ფიზიკაში, ეკონომიკაში.
ბიოლოგიაში:
პირველი მნიშვნელოვანი მათემატიკური მოდელი, რომელიც აღწერს ბიოლოგიურ თემებს, იყო ლოტკა - ვოლტერას მოდელი. მასში აღწერილია ორი ურთიერთქმედი სახეობის პოპულაცია. პირველი მათგანი, რომელსაც მტაცებლებს უწოდებენ, მეორის არარსებობის შემთხვევაში, კანონით იღუპება x ′ = –ax (a> 0) კანონის შესაბამისად, ხოლო მეორე - მტაცებელი - მტაცებლების არარსებობის პირობებში განუსაზღვრელი ვადით მრავლდება კანონის შესაბამისად მალთუსის. ამ ორი ტიპის ურთიერთქმედების მოდელირება ხდება შემდეგნაირად. მსხვერპლი იღუპება მტაცებლებისა და მტაცებლების შეტაკებების ტოლი სიჩქარით, რაც ამ მოდელში სავარაუდოდ პროპორციულია ორივე პოპულაციის ზომისა, ანუ dxy (d> 0). ამიტომ, y ′ = by - dxy. მტაცებლები მრავლდებიან შეჭამული მტაცებლების რაოდენობის პროპორციულად: x ′ = –ax + cxy (c> 0). განტოლებების სისტემა
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = by - dxy, (2)
მტაცებელი მტაცებელი, რომელიც აღწერს ასეთ პოპულაციას, ეწოდება ლოტკა-ვოლტერას სისტემას (ან მოდელს).
ფიზიკაში:
ნიუტონის მეორე კანონი შეიძლება დაიწეროს დიფერენციალური განტოლების სახით
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), სადაც m არის სხეულის მასა, x არის მისი კოორდინატი, F (x, t) არის ძალა, რომელიც მოქმედებს სხეულზე x კოორდინატთან t დროს. მისი ამოხსნა არის სხეულის ტრაექტორია მითითებული ძალის მოქმედებით.
ეკონომიკაში:
გამოშვების ბუნებრივი ზრდის მოდელი
ვივარაუდებთ, რომ ზოგიერთი პროდუქტი ფიქსირებულ ფასად იყიდება. მოდით Q (t) აღნიშნავს t დროს გაყიდული პროდუქციის რაოდენობას; მაშინ დროის ამ ეტაპზე შემოსავალი PQ (t) უდრის. მითითებული შემოსავლის ნაწილი დაიხარჯოს ინვესტიციებზე გაყიდული პროდუქციის წარმოებაში, ე.ი.
I (t) = mPQ (t), (1)
სადაც m არის ინვესტიციის მაჩვენებელი - მუდმივი რიცხვი და 0
